5.3 Geometric Sequences - 知识点总结

基本概念

几何数列定义

几何数列是指相邻两项之间的比值是常数的数列。要从一项到下一项，你需要乘以公比。

通项公式：\( u_n = ar^{n-1} \)

其中：a 是首项，r 是公比，n 是项数

重要符号

\( u_n \)：第 n 项
\( a \)：首项（第一项）
\( r \)：公比（相邻两项的比值）
\( n \)：项数（正整数）

数列性质

数列类型

递增数列：当 \( r > 1 \) 时，数列是递增的

递减数列：当 \( 0 < r < 1 \) 时，数列是递减的

常数数列：当 \( r = 1 \) 时，数列是常数数列

交替数列：当 \( r < 0 \) 时，数列是交替的（正负交替）

收敛数列：当 \( |r| < 1 \) 时，数列收敛到某个值

判断数列类型的方法

计算相邻两项的比值
检查比值是否恒定
根据比值的大小判断数列性质
如果比值恒定，则为几何数列

解题方法

求几何数列的通项公式

确定首项 \( a \) 的值
计算公比 \( r = \frac{u_2}{u_1} \)
代入通项公式 \( u_n = ar^{n-1} \)
化简得到最终的通项公式

求几何数列的特定项

确定通项公式中的 \( a \) 和 \( r \)
将要求的项数代入通项公式
计算得到该项的值

根据已知条件求常数

根据通项公式建立方程组
利用已知的项值建立方程
解方程组求出未知数
验证答案的正确性

常见题型

题型1：求数列的前几项

给定通项公式，求数列的前几项。

解题步骤：将 n = 1, 2, 3, ... 依次代入通项公式计算。

题型2：求特定项

给定通项公式，求第 n 项的值。

解题步骤：将指定的 n 值代入通项公式计算。

题型3：求通项公式

给定数列的前几项，求通项公式。

解题步骤：先求首项和公比，再写出通项公式。

题型4：求满足条件的项

求满足特定条件（如第一个超过某值的项）的项。

解题步骤：建立不等式，求解得到项数。

题型5：收敛性判断

判断几何数列是否收敛。

解题步骤：检查公比的绝对值是否小于1。

注意事项

计算注意事项

确保正确识别首项 \( a \) 和公比 \( r \)
注意公比的正负号，负公比会产生交替数列
在求特定项时，注意 n 的取值范围
建立方程组时，要确保方程的个数等于未知数的个数
对于收敛数列，要注意极限值的计算

常见错误

混淆首项和第一项的概念
计算公比时符号错误
代入通项公式时忘记减1
解不等式时忘记考虑 n 必须是正整数
忽略公比为负数时的交替性质

记忆口诀

几何数列记忆口诀

几何数列有公比，相邻两项比值同

通项公式要记牢，首项乘公比的n减一次方

公比大于一递增，公比小于一递减

公比绝对值小于一，数列收敛有极限

公比为负交替列，正负相间要记清